向量值积分

向量值积分，普通（数值的）积分在向量值上的推广。在来自分析数学的各分支中，因不同的要求360百科，需要种种或是向量值函数的积分或是关于向量值测度的积分。向量值函数的提直回例否孙害点司积分有黎曼-斯蒂尔杰斯型积分和勒贝格型积分。

• 中文名 向量值积分
• 定义 普通积分在向量值上的推广
• 属性 关于向量值测度的积分
• 相关 黎曼-斯蒂尔杰斯

简介

　　黎曼－斯蒂尔杰斯型积分较老常用的一种向量值积袁分。如果ƒ（t）是定义在［α，b］上,但取“值”于拓扑线性空间L的函数,则称ƒ(t)是［α,b］上向量值函数来自。设ƒ(t)和g月黄侵毛医雷到绝校随(t)分别是［α,个话坐设队手即通b］上向量值和数值函数。任取360百科【α,b】上分点组D：作和式

向量值积分

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　　其中令

年飞吃向量值积分

向量值积分

　呀统做称前基　如果极限

向量值土德燃甚积分

　　存在，则往观士干说序信谓企画占称ƒ关于g在【α,b】上R-S可积，又称

向量值积分

　　是ƒ关于g的黎曼-斯蒂尔杰斯积分,简称R-S积分，记为

向量值积分

　　类似地,也可以引入

向量值积分

　　向量值R－S积分有许多类似于数值函数的R-S积分的性质。特别，有分部积分公式：如果

向量值关众款与战指告课句云积分

　　中有一个存在，则另一个必存在，且

向量值积分

向量值积分

　　下面几种向量值积分都属于勒贝格型的。

向量值积分

　　博赫纳积分设(x,φ,μ)是全σ有限测度空间（见测度论），φ(x)是定义在x上，取值于巴拿赫空间B的向量值函数。如果存在 (x,φ)的有限个互不相交的可测集A1, A2, …，An，使φ在Ai(i=1,2,…,n)上的值恒为向量ei,而

向量值积分

　　上的值恒为0，则称φ是(向量值)简单函数。如果存在 x上的一列简单函数 {φn(x)}，使得‖φn(x)-ƒ(x)‖关于μ几乎处处收敛于0，则称ƒ(x)是x上（取值于朝B）的强可测函数。强望类齐可测函数 ƒ(x)的范数‖ƒ(x)‖必是x上的（数值）可测函数。如果φ是简单函数并且μ(Ai)<∞,那么称

向量值积分

　　是φ的博赫纳积衡针欢娘轮分,记为设ƒ(x)是x上向量值函数，如果存在一众盐沿包福营温行振便个可积的简单函数列{φn},使得

向量值积分

　　就称ƒ保八未并找三策导是x上博赫纳可积的,并称

向量值积分

　　是ƒ在x上的博赫纳积分，记为

向量值积分

　　可以证明：对于博赫纳可积函数ƒ,它的积分值(是向量)不依赖于{φn}的选取;ƒ促在x上是博赫纳可积的持脱作菜充尼点,当且仅当ƒ是强可测的而且‖ƒ(x)‖是 x上的数值可积函数。博赫纳积认管足配死松请会分具有一般测度论中积分的性质。

向量值积分

　　伯克霍夫积分设(x，φ，μ)是全σ有限测度空间，飞搞妒马张慢粮来{Ai}是x的一列互不相交的可测集,

向量值积分

　　并且

向量值积分

　　称{Ai}是x的可列剖分。设ƒ(x)是x上取值于巴拿赫空间B的向量值函数,墹={Ai}是x的可列剖分，如果ƒ在每个Ai上有界，并且

向量值积分

　　是无条件收敛的，则称集的凸闭包是ƒ(x)关于墹的积分值域，记为J(ƒ,墹)。如果对任何ε>0，存在可列剖分墹(ε)，使集J(ƒ，墹(ε))的直径小于ε，则称ƒ在x上伯克霍夫可积,并称由一切可列剖分墹所得的J(ƒ,墹)的交集(只有一个向量)为ƒ 在x上的伯克霍夫积分,记为

向量值积分

　　这种积分除富比尼定理外，具有通常勒贝格积分所具有的线性、可列可加性、绝对连续性等性质。博赫纳可积必然伯克霍夫可积（逆命题并不成立），并且两个积分相等。

向量值积分

　　更一般地，还可定义取值于具有某种拓扑结构半群上的积分，当取不同拓扑时，它可包含伯克霍夫积分和下面的积分。

　　盖尔范德意义下的弱积分 设(x,φ,μ)是全σ有限测度空间，ƒ(x)是定义在x上取值于巴拿赫空间B的向量值函数。如果对每个g∈B(B是B的共轭空间)，g(ƒ(x))是可测函数,则称ƒ(x)在x上是弱可测的。在空间B是可分情况下,弱可测和强可测一致。如果对每个在x上是可积的,则必存在ƒ∈B,使得

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　　,称ƒ是ƒ(x)在 X上的盖尔范德意义下的弱积分，记为

向量值积分

　　佩蒂斯积分或称弱积分。另一种常用的向量值积分。设(x,φ,μ)是全 σ有限测度空间，ƒ(x)是x上取值于巴拿赫空间B的弱可测函数，如果存在b)∈B 使得对一切g∈B成立

向量值积分

　　,则称ƒ在x上是佩蒂斯可积的，b)是ƒ的佩蒂斯积分，记b)为

向量值积分

　　。博赫纳可积必然佩蒂斯可积，并且积分相等。除去富比尼定理外，勒贝格积分的其他性质对于佩蒂斯积分也成立。

　　向量值测度和积分设(x,φ)是可测空间,如果E是定义在φ上取值于巴拿赫空间 B的满足下列条件的向量值集函数：①E(═)=0（═是空集）；②可列可加性,对φ中任何一列互不相交的集{Ai}，

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　　则称E 是φ上向量值测度。例如，如果(x,φ,μ)是全σ有限测度空间,ƒ是x上取值于巴拿赫空间B的博赫纳可积函数，对任何A∈φ,定义

向量值积分

　　,则E便是φ上取值于B的向量值测度。特别，当B是某个巴拿赫空间（或希尔伯特空间）上的有界线性算子全体按算子范数所成的巴拿赫空间时,就称E为φ上的算子值测度（见谱论、谱算子）。此外，和数值测度一样，也可引入一个向量值测度关于另一个数值测度绝对连续的概念。但一般说来没有拉东-尼科迪姆定理。但如果空间B或是自反，或是希尔伯特空间，或B的共轭空间B是可分的,这时就有拉东-尼科迪姆定理。（见测度论）