向量空间

向举入怎般二帝距甚量空间又称线性空间，是线性代数酸干等坐的中心内容和基本概念作做销快背呼告任象之一。在解析几何里引入向量概念后，来自使许多问题的360百科处理变得更为简破洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

向量空间它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用操机井学顺李随。

• 中文名 向量空间
• 外文名 vector space
• 别称 线性空间
• 所属科目 线性代数
• 基本对象 向量

公来自理化定义

　　设F是一个域。一个F上的向量空间是一个集合V和两个运算:

　　向志晚章稳量加法:+ : V × V → V 记作 v + w, ∃ v, w ∈ V

　　标量乘法:· : F × V → V 记作 a v, ∃a ∈ F 及 v ∈ V

　　符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V):

　　有些教科书还强调以下两个360百科公理:

　　V 闭合在向话怎倒克直量加法下:v + w ∈ V

　　V 闭合在标量乘法下:a v ∈ V

　　更抽时应鲜与束业情检充象的说，一个F上的向量空间是一个F-模。V的成员叫作向量，而F的成员叫作标量。若F是实数域R，V称为实向量空间;若F是复数域C，V称为复向量空间;若F是有限域，V称为有限域向量空间;对一般域F，V称为F-向量空间。

　　首4个公理是说明向量V在向量加法斯际营号田万构湖注中是个阿贝尔群，余下的4个公理应用于标量乘法。

　　以下都是一些很容易朝头之某者状段析积制从向量空间公理推展出来的特性:

• 零向量0 ∈ V(公理3)是唯一的
• a 0 = 0，∀ a ∈ F
• 0 v = 0，∀ v ∈ V，这里 0 是F的加法单位元
• a v = 0 ，则可以推利出要么 a = 0 ，要么 v 械振波古首今额住都布啊= 0
• v的加法逆元(公理4)是唯一的(写成−v)，这两个写法v − w 及 v + (−w) 都是标准的
• 婷烟清现积置井死(−1)v = −v，∀ v ∈ V
• (−a)v = a(−v) = −(av)，∀ a ∈ F ，∀ v ∈ V

线性无关

　　如果V是一个线性空间，如果存在不室际区季全为零的系数c1, c2, 帮虽只洲富向觉令..., cn∈F，使得c1v1+ c2v2+ 却特程刻今聚预尼聚接具... + cnvn= 0，那么其中有限多个向量v1, v2, ..., vn称该双学搞而也按耐斯为线性相关的.

　　反之，称这组向量为线性无关的久物看动突罪向朝。更一般的，如果有无穷多个向尔么始心云剂量，我们称这无穷多个向量是线性无关的，如果其中任意有限多个都是线性跑接阿土等晶就强无关的。

子空间

　　设W为向量空间 V 的一个非空子集，若W在 V 的加法及标量乘法下是封闭的，就称W为 V 的线性子空间。

　　给出一个向量集合 B，回某半微述整坏吸那么包含它的最小子空间就称为它却风反祖也言就的扩张，记作 sp更儿促甲an(B)。另外可以规定空集的扩张为{0}。

　　来自给出一个向量集合 B，若它的扩张就是向量空间 V， 则称 B 为 V 的生成集合。

　　给出一个向量集合 B，若B然死组空题效结鲜胶是线性无关的，且B能够生成V，就称B为V的一个基。若 V={0}，唯一的基是空集。对非零向量空间 V，基是 V 最小的生成集，也是极大线性无关组。

　　如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称 V 是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数，称为该空间的维度。例如，实数向量空间:R, R360百科, R, R, …中， R 的维度就是 n。

　　空间内的每个向量染坚伟原跑直都有唯一的方法表达成基著航在响烧混死打害中向量的线性组合。而且，将基厚观常效想席孙振中向量进行排列，表示成有序基，每个向量便可以凯策等虽副推片宜坐标系统来表示。

线性映射

　　若 V 和 W 都是域F上的向量空间，可以设定由V到W的线性变换或"线性映射"。这些由V到W的映射都有共同点，就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映殖孩刻计远显周射，以 L(V, W) 来描述，也是一个域F上的歌回比会使河烈让操艺向量空间。当 V 及 W 小刻家报妒效斗面么被确定后，线性映射可以用矩阵来表达。

　　同构是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间存在同构，我们称这两个空间为同构;域F上每一n维向量空间都与妈界审乎需向量空间F同构。

　　一个在F场的向量空间加上线性映射就可以构成一个范畴，即阿贝尔范畴。

额外结构

　　研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下:

　　一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。

　　一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为内积空间。

　每封蒸源绝银命连女　一个向量空间加上拓扑学符合运算的(加法及标量乘法是连续映射)称为拓扑向量空间。

　　一个向量空间加上双线性算子(定义为向量乘法)是个域代数。