分治算法

分治算法的基本思想是将一个良货下层内后务序新规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。求出子问题的解，深脱货补错易需深就可得到原问题的解。即一种分目标完成程序算法，简单问题可用二分法完成。

• 中文名称 分治算法
• 别名 分治法
• 适用领域 计算机科学;数学
• 应用学科 计算机;数学

基来自本思想

　　当我们求解某些问题时，由于这些问题要处居站太讨探喜理的数据相当多，或求解过程相当复杂，使得直接求解法在时间上相当长，或者根本无法直接求出。对于这类问题，我们往演迅往先把它分解成几个子问题，找到求出这几个子问题的解法后，再找到合适的方法，把它们组合成求整个问题的解法。如果这些子问题还较大，难以解决，可以再把它们分360百科成几个更小的子问题，以此类推，直至可以直接求出解为施西止。这就是分治策略的基本思想。

二分法

　　利用分治策略求解时，所需时间取决于分解后子问题的个数、子问题的规模大小等因素务言死光跳色运最，而二分法，由于其划分的简单和均匀的特点，是经常采用的一种有效的方法，例如二分法检索。

解题步骤

　　分治法解题的一般步骤(如图1):

图1 分治算法

　　(1)分解，将要解决的问题划分成若干规模较小的同类问题;

　　(2)求解，当子问题划分得足够小时，用较简单的方法解决;

　　(3)合并，按原问题的要求，将子问题的解逐层合氧适并构成原问题的解。

应用实例

　　下面通过实例加以限汉唱流坚双守小而周吧说明:

找出伪币

　　给你一个装有16个硬币的袋子。16个硬币中有一个是伪造的，并且那个伪造的硬币比真的硬币要轻一杀威设意油毛带洲对这些。你的任务是找出这个伪造的硬币。为了帮助你完成这一任务，将提供一台可用来比较两组硬币重量的仪器，利用这台仪器，可以知道两组硬币的重量是否相同。比较硬来自币1与硬币2的重量。假如硬币1比硬币2轻，则硬币1是伪造的;假如硬药也际币2比硬币1轻，则硬币2是伪造的。这样就完成了任务。假如两硬币重量相等，则比较硬币3和硬币4。同样，假如有一个硬币轻一些，则寻找伪币的任务完成。假如两硬币重量相等，则继续比较硬币5和硬币6。按360百科照这种方式，可以最多通过8次比较来判断伪币的存在并找出这着均行供歌坏里条卷婷对一伪币。

　　另外一种方法就还缩钱承下者研尼云第是利用分而治之方法。假如把16硬币的例子看成一个大的问题。第一步，把这一问题分成两乡副国县接色输个小问题。随机选择8个硬格段乱币作为第一组称为A组，剩下的8个硬币作为第二组称为B组。这样，就把16个硬币的问题分成两个8硬币的问题来解决。第二步，判断A和B组中是否有伪币。可以利用仪器来比较A组硬币和B组硬币的重量。假如两组硬币重量相等，则可以判庆转请字屋息专断伪币不存在。假如两组硬币重量不相等，则存在伪币，并且可以判断它位于较轻的那一组硬币中。最后，在第三步中，用第二步的结果绝卫得出原先16个硬币问题的答案。若仅仅判断硬币是否存在，则第三步非常简单。无论A组还是B组中有伪币，都可以推断这16个硬币中存在伪币。因此，仅仅通过一次重量的比较，就可以判断伪币是否存在。

　　假设需要识别出这一伪币。把两个或三个硬币的情况作为不可再分的小问题。注意如果只有一个硬币，那么不能判断出它是否就是伪币会不国。在一个小问题中，通过将一个硬币分别与其他两个硬币比较，最多比较两次就可以找到伪币。这样，16硬币的问题就被分为两个8硬币(A组和B组)的问题。通过比较这两组硬币的重量，可以判断伪币是否存在。如果没生哪空有伪币，则算法终止。否则，继续划分这两组硬币来寻找伪币。假设B是轻的那一组，因此再把它伯区察超报座亲余分成两组，每组有4个普笔进社硬币。称其中一组为B1，另一组为B2快门造交指景。比较这两组，肯定有一组轻一些。如果B1轻，则伪币在B1中，再将B1又分成两组，每组有两个硬币，称其中一组为B1a，另一组为B1b。比较这两组，可以得到一个较轻的组。由于这个组只有两个硬币，因此不必再细分。比较组中两个硬币的重量，可以立即知道哪一个硬币轻一些。较轻的硬币就是所要找的伪币。

求最值

　　在n个元素中找出最大元素和最小元素。我们可以把这n个元素放在一个数组中，用直接比较法求出。算法如下:

　　上面这个算法需比较2(n-1)次。能否找到更好的算法呢?我们用分治策略来讨论。

　　把n个元素分成两组:

　　A1={A[1],...,A[int(n/2)]}和A2={A[INT(N/2)+1],...,A[N]}

　　分别求这两组的最大值和最小值，然后分别将这两组的最大值和最小值相比较，求出全部元素的最大值和最小值。如果A1和A2中的元素多于两个，则再用上述方法各分为两个子集。直至子集中元素至多两个元素为止。

　　例如有下面一组元素:-13，13，9，-5，7，23，0，15。用分治策略比较的算法如下:

棋盘覆盖

　　题目:在一个(2^k)*(2^k)个方格组成的棋盘上，有一个特殊方格与其他方格不同，称为特殊方格，称这样的棋盘为一个特殊棋盘。我们要求对棋盘的其余部分用L型方块填满(注:L型方块由3个单元格组成。即祖题呢围棋中比较忌讳的愚形三角，方向随意)，且任何两个L型方块不能重叠试占说弦排烧覆盖。L型方块的形态如下:

　　题目的解法使用发呢准犯企企引奏夫分治法，即子问题和整体问题具有相同的形式。我们对棋盘做一个分割，我们可以看到棋盘被切成4个一样大小的子棋盘，特殊方块必定位于四个子棋盘中的一个。这样对于每个子棋盘又各有一个"特殊方块"，我们对每个子棋盘继续这样分割，直到子棋盘的大小为1为止。

　　用到的L型方块需要(4^k-1)/3 个，算法的时间是O(4^k)，是渐进最优解法。

　　本题目的C语言的完整代码如下(TC2.0下调试)，运行时，先输入k的大小，(1<=k<=6)，然后分别输入特殊方格所在的位置(x,y), 0<=x,y<=(2^k-1)。

应用场景

　　运用分治策略解决的问题一般来说具有以下特点:

　　1、原问题可以分解为多个子问题

　　这些子问题与原问题相比，只是问题的规模有所降低，其结构和求解方法与原问题相同或相似。

　　2、原问题在分解过程中，递归地求解子问题

　　由于递归都必须有一个终止条件，因此，当分解后的子问题规模足够小时，应能够直接求解。

　　3、在求解并得到各个子问题的解后

　　应能够采用某种方式、方法合并或构造出原问题的解。

　　不难发现，在分治策略中，由于子问题与原问题在结构和解法上的相似性，用分治方法解决的问题，大都采用了递归的形式。在各种排序方法中，如归并排序、堆排序、快速排序等，都存在有分治的思想。