切比雪夫不等式

在概率论中切比雪夫不等式（英语Chebyshev's Inequ来自ality）显示了随机变量的几乎所有值都会接近平均切比雪夫不等式对任何分布形状的数据都适用

• 中文名 切比雪夫不等式
• 外文名 Chebyshev inequality
• 类型 数学
• 分类 公式

基本概述

　　在概率论中，切比雪夫不等式（英语：Chebyshev's Inequality）显示了随机变量的“几乎所有”值都会“接近”平均。切财微杨初本演临否比雪夫不等式，对任何分布形状的数据都适用。

切比雪夫不等式

切比雪夫不等式

基本原理

　　对于任一随机变量X ，若EX与DX均存在，则对任来自意ε0，

切比雪夫不等杆获影找静队切良件属别式

　　恒有P{|X-EX|=ε}=DX/ε^2 或P{|X-EX|ε}=1-DX/ε^2

　　电对血祖么受完措切比雪夫不等式说明360百科，DX越小，则 P{|X-E项X|=ε}

　　越小，P{|X-EX|ε}越大， 也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。

　　同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-E缩马苦代诗福胶亚翻X|=ε}的一个上界，该上界民敌阳核神州站音并不涉及随机变量X的具维除径越吗福体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要板露她处丝婷突副指出的是，虽然切比雪夫不等式师流应用广泛，但在一个具体问出晶质早检则施题中，由它给出的概神蒸打利回离进率上界通常比较保守。

　　切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数的距离超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。

基本定义

　　在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4与平均相差3个标准差的宣月值，数目不多于1/9与平着诉议尽马的推意扩连马均相差4个标准差的值，数目不多于1/16……与平均相来自差k个标准差的值，数目不多于1/K^2举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结班晶写来斯龙着导场律论：少于50分（与平均相差3个标准差以上）的人，数目不多于4个（=36*1/9）。

测度论说法

　　设(X，Σ，360百科μ)为一测度空间，f为定义在X上的广义实值绍西可测函数。对於任意实数t  0，

　　一般而言，若曲境g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有

　　上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：

概率论说法

　　设X为随机变数，期望值为μ，方差为σ2。对升留行于任何实数k0，

　　改进

　　一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子：

　　这个分布的标准差σ = 1 / k，μ = 0。

　　当只求其中一边的值的时候川，有Cantelli不序价术保等式：

基本证明

　　定义汉或左阳东，设为集的指标函数，又可从马尔可夫不等述审长损几兴陆万式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变数Y和正数a有\Pr(|Y| \le \o间室但南界对绍peatorname{E}(|Y|)/a。取Y = (X ？ μ)2及a = (kσ)2。

　　亦可从概率论的原理和定义开始证明。本文用现代概率论方法，证现孩女合之代画环明马尔可夫不等式与切比雪夫不等式，特别是给出两个不等式等号成立的充要条件，这在流行的概率统计教科书中是没有的.结果的证明主要依赖下面的引理.引理 设Y是样本空间)上的随机变量，P(Y≥0)=1，谁商厚变早志双杆东协科则E(Y)=0当且仅当P(Y=0)=0.证明 记IA为集合A的示性函数.若P(Y=0)=1，则P(Y40)=0，P(Y0)=0，于是，E(Y)=E(YI{Y40} YI{Y=0} YI{Y0})=0 0 0=0.反之，若P(Y≥0)=1，E(Y)=0，则必有P(Y=0)=1.否则，P(Y40)40，由概率的连续性及{Y40}=9∞n=1{Y41n}，

　　善鲜它复周吃志整含种均得P(Y40)=l除宗则imn：∞P(Y41n)济促增苗张始笑丰就，因而存在n0∈\，P(Y41n0)40，E(Y)≥E(1n0I{Y41n0})=1n0P(Y41n0)40，与假设E(Y)=0矛盾.定理1 扩飞特试零高化适钱(马尔可夫(Markov)不等式)设Y是样本空间)上的非负随机变量且有有限期望，则；(40，P(Y≥()≤E(Y)(.其中等号成立当且仅当P(Y∈{0，(})=1.证明 注意到I{Y≥(}≤Y(，两边取期望，由E(IA)=P(A)，即得不等式成立.记Y=Y(-I{Y≥(}，则Y史依本支眼酸程被≥0，P(Y≥0)=1.结论中等号成立等价于E(Y)=0，由引理，E(Y)=0等价于P(Y=0)=1，等价于P(Y=(I{Y≥(})=1，等价于P(Y∈{0，(})=1.证毕.定理2 (切比雪夫(Chebyshev)不等式)设Y是样本空间)上的随机变量，有有限期望*和方差 2，则；(40，P(|Y-*|≥()≤ 2(2.其中等号成立当且仅当存在p∈

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