分角定理

在△ABC中，D是边BC上来自异于B,C或其延长线上此明能跳资脚的一点，连结AD，则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/360百科AC)。

• 中文名称 分角定理
• 常用 平面几何中角与边的转化
• 特点 使用方便
• 属性 平面几何中的一条基础定理

简介:

　来自　分角定理是平面几何中的一条基础定理。山东省济南市王家琦和姚林宏宣称其是该定理的发现者和命名者。事实上早已有人发现了这个关系行外均林,只是因它过于简易而不值得称为"定理"罢了。

　　应用分角定理可360百科以处理很多涉及到边角目土负香故多转换、比例线段的几何问题。

　　分角定理指出:在△ABC中，电比离践触D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。

证明:

　　S△ABD/S△ACD=BD器反胡依绝集出/CD (1.1)

　　S△ABD/S△ACD=[(1/树配吸回既出2)*AB*AD*sin∠BAD]/[(1/2)*AC*AD煤家裂轴端各请鱼停调均*sin∠CAD] = (sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/A市包C) (1.2)

　　由1.1式紧升敌和1.2式得

　　BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)

推广:

　　∵由正弦定理得AB/误督商略委以宁队起属圆AC=sin∠ACB象/sin∠ABC

　　∴有时，上式也写成:BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(sin∠ACB/sin∠ABC)，这样就安尽多吗突质美确实现了线段比彻底转化成角的比。

与其他定理吗论八息联的转换

　　(一)交她用《分角定理》证明《张角定理》:即三角形内有一条分角线,各分角正弦与异婷针伯千放情玉之不相邻边的比之和=大角正弦与分角线之比。△ABC中,AD内分∠BAC, 则有(sin∠BA有D/AC)+ (sin∠CA亲脸都座洋饭于印D/ AB) = ( sin雨积∠BAC/AD)谈字。

　　证明:由AC外分∠BAD, 由《分角定理》→(CD/CB)=(sin∠CAD/ sin∠CAB)·(AD/AB)→

　　(sin∠CAD/ AB)= (CD/CB)·(sin∠CAB/AD⑴, 由AB外分∠CAD, 由《分角定理》→(BD/BC)=

　　(sin∠BAD/ sin∠BAC)·(AD/AC)→(sin∠BAD/ AC)=(BD/BC)·(sin∠BAC/AD⑵。由⑴+⑵→

　　(sin∠BAD/ AC) +(sin∠CAD/ AB) = sin∠BAC(BD+CD)/(BC·AD)= ( sin∠BAC/AD)。证毕。

　　(二)用《分角定理》证明《三弦定理》:过圆上一点A任作三条弦，AB(左)、AC(右)、AD(中)，则有AB·sin∠CAP +AC·sin∠BAP= AD·sin∠BAC。(AD与BC交于P)

　　证明:由AC外分∠BAP, 由《分角定理》→(sin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC)·(AB/AP)→(AB·sin∠CAP/

　　sin∠BAC)=(CP/BC)(AB·AB)/AP⑴，同理由AB外分∠CAP, 由《分角定理》→(AC·sin∠BAP/ sin∠BAC)=

　　(BP/BC)(AC·AC)/AP⑵，由⑴+⑵→(AB·sin∠CAP+ AC·sin∠BAP)=AD·sin∠BAC[(CP·AB·AB)/(AP·BC·AD)+(BP·AC·AC)/(AP·BC·AD)] = AD·sin∠BAC[(CP/AP)(AB/BC)(AB/AD)+(BP/AP)(AC/BC)(AC/AD)]= AD·sin∠BAC[(sin∠CAP/ sin∠ACP)(sin∠ACP/ sin∠BAC)(AB/AD)+(sin∠BAP/ sin∠ABC)(sin∠ABC/ sin∠BAC)(AC/AD)]= AD·sin∠BAC[(sin∠CBD/ sin∠BDC)(AB/AD)+(sin∠BCD/ sin∠BDC)(AC/AD)= AD·sin∠BAC [(CD/BC)(AB/AD)+(BD/BC)(AC/AD)]= AD·sin∠BAC [(CD·AB)/(BC·AD)+(BD·AC)/(BC·AD)] 由《托氏定理》，所以有

　　(AB·sin∠CAP+ AC·sin∠BAP)=AD·sin∠BAC。证毕。

　　(三)用《分角定理》证明《全面三割线定理》:过圆外一点。任作三条割线，则有

　　(PB·sin∠DPQ + PA·sin∠EPQ)×sin∠DPE/PQ=(sin∠EPQ/PD + sin∠DPQ/PE)×sin∠DPE·PC。

　　证明:连AE交PC于M，连BD交PC于N，连AC、BC、DQ、EQ。

　　由PD外分∠BPN，由《分角定理》→(sin∠DPQ/ sin∠DPE)=(DN/DB)·(PB/PN)→

　　PB sin∠DPQ= sin∠DPE(DN·PB·PB)/(DB·PN)⑴。

　　由PE外分∠APM，由《分角定理》→(sin∠EPQ/ sin∠DPE)=(EM/EA)·(PA/PM)→

　　PA sin∠EPQ= sin∠DPE(EM·PA·PA)/(EA·PM)⑵。由⑴+⑵→

　　PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ = sin∠DPE[(DN·PB·PB)/(DB·PN)+(EM·PA·PA)/(EA·PM)]×PC/PC

　　=PC sin∠DPE[(DN/PN)(PB/DB)(PB/PC)+(EM/PM)(PA/EA)(PA/PC)]

　　= PC sin∠DPE[(sin∠DPQ/ sin∠PDN) (sin∠PDN/ sin∠DPE) (sin∠PCB/ sin∠PBC)+ (sin∠EPQ/ sin∠PEM)

　　(sin∠PEM/ sin∠DPE) (sin∠PCA sin∠PAC)]，两边×sin∠DPE/PQ→

　　(PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ)×sin∠DPE/PQ= PC sin∠DPE[(sin∠DPE/PQ)(sin∠DPQ/ sin∠DPE)

　　(sin∠PEQ/ sin∠PQE)+(sin∠DPE/PQ)(sin∠EPQ/ sin∠DPE) (sin∠PDQ sin∠PQD)] →

　　(PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ)×sin∠DPE/PQ= PC sin∠DPE[(sin∠DPQ/PQ)(PQ/PE)+(sin∠EPQ/PQ) (PQ/PD)]

　　∴(PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ)×sin∠DPE/PQ= PC sin∠DPE[(sin∠DPQ/PE)+ (sin∠EPQ/PD)]证毕。