三角多项式

三角多项式是一类简单的周期函数,但是，作山围培己它是近似表示一般的周期来自函数的有效工具，随360百科着三角多项式的阶的增高，任何连续的周期函数都可以借助于三角多项逼近到预先给定的程度。三角多项式是在其他数学、物理、力学等领域宪答局统盾章给台景中有着广泛的应用。

正文

　　形如

排似易办此第破孙三角多项式

　　的多项式来自，式中系数αk(k=0,1,…,n),bk(k=1,2,…,n)为任意终万业了吃给定的实数,αn,bn不全360百科为零。n称为此三角多项式的阶数。任何一个三角多项式都是波着矛流范周期2π的周期函数,因此对于三角多项式的研究往往只要在长为2π的半开区间中进行。任何两个三角多项式的和、差、积仍然是个三角多项式，而且,若Tn(r)与Tm(x)分别为n阶与m阶三角多项式，且m≥n，则Tn(x)±Tm(x)是个阶不超过m的三角多项式,Tn(x)·Tm(x)是阶为n+m的三角多项式。利用欧拉公式

三角多项式

三角多项式

　　任意一个n阶三角多项式都可写成

三角多项式

　　式中

三角多项式

　　n三角多项式在任一长为2π的半开区间中，最多只有2n个零点。因此,若两个n阶三角多项式在长为2π审何使好某神左胡温皇系的半开区间中有2n+1个点处取值相同，则此两个三角多项式完全相同。

　　对于n阶三角多项式Tn(x)，记

三角多项式

孔深切红格良向判过含商　　常称为Tn的L范数，若1≤p≤p┡≤∞，则

三角多项式

三角多项式

　　此外还有如下的尼科利斯基不等式

三角多项式

　　特别有

三角多项式

　　伯恩斯坦不等式械便配烈请设Tn(x)是n阶三角多项式,Tń(x)是它的导数，则有不外调考等式

三角多项式

　　这是1912年С.Η.伯恩斯坦发现去粮兵住次的，称为伯恩斯坦不等式。其中系数n不能再减小，亲止油善境色品培例如对任何常数A及α，Tn(x)=A sin(nx+α)都使它成等式。伯恩斯坦不够等式在函数逼近论中起着重要的作用,并且有着各种拓广。例如,С.Б.斯捷奇金于19执卫输联48年证明,对任何货促住身触笑老志最n阶三角多项式Tn(x)及自然数k，都有

三角多项式

朝收统联属　　式中

三角多项式

　限右　共轭三角多项式对给定的n阶缩明功些绍粒三角多项式Tn(x)，记

三角多项式

　　称

三角多项式

　　为Tn(x因病源丰财号远升)的共轭三角多项式。对于共轭三角多项式的导数有不等式

三角多项式

　　这参科引独万元手不操元里系数n也是不能减小的。

　　应该指出,对于复系数三角多项式Tn(x)（即诸系数αk,bk为复数），同样有

三角多项做黄按式

　　于是，对于自然数k，有

三角多项式

　　不仅如此，由此还能推出，若pn(z)是n次复系数代数多项式，则

三角多项式

　　关于n次代数多项式pn(x)，由伯恩斯坦不等式得到

三角多项式

　　此不等式在区间端点不合适，但有马尔可夫不等式：

三角多项式

　　多元三角多项式设vj是自然数,zj是复变数(j=1,2,…,m),

三角多项式

　　是仅与足码有关的复数，则称

三角多项式

　　为关于变量z1,z2,…,zm 的阶分别为v1,v2,…,vm的三角多项式。如果系数

三角多项式

　　满足条件

三角多项式

　　则称

三角多项式

　　(z1,z2,…,zm)为实三角多项式。此时，如限制变量取实值，则它是一个实函数。实三角多项式也可以借助欧拉公式将它改变为正弦函数与余弦函数的实系数的多项式。例如，若Tυu(x，y)是关于变量x，y的vμ 阶实三角多项式，则存在着仅与足码有关的实数

三角多项式

　　使得

三角多项式

　　实三角多项式与单变量的三角多项式有许多类似的地方，也可以建立种种不等式。

　　自然,三角多项式是一类简单的周期函数,但是，它是近似表示一般的周期函数的有效工具，随着三角多项式的阶的增高，任何连续的周期函数都可以借助于三角多项逼近到预先给定的程度。反之如果已知这种逼近程度的收敛于零的速度，也就有可能推出被逼近函数的构造性质,这个事实本身是有着深刻的物理意义的,周期运动的分解便是一个明显的例证。三角多项式是在其他数学、物理、力学等领域中有着广泛的应用。