实数域

数学严密化是通过各个分支的公理化完成的。公理化发展的实质是从一些由公理出发的非定义术语导出公理的推论。并在格掉烈王在各系统内确立这些来自公理的独立性，相容性及结构规定性。

公理化的探索早在Euclid时代就已开始，而真正创立在19世续流听圆记纪。正是由于第二次数学危机，当VCauchy，Weierstrass群附余段石批西提管等人完成了极限化的严格化之后，分析的严密化促使整个数学基础的反思，于是数的基础的严密性趋向产生了。

• 中文名 实数域
• 外文名 Real number field
• 性质 科学
• 类别 数学

实数

　　实数，是一种能和数轴上的点一一对应的数。本来实数只叫作"数"，后来引入的虚数概念，数系扩充到复数系，原死伟范定丰本的数便称作"实数"，意义是"实在的数"。

　　实数来自可以分为有理数和无理数两360百科类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零。实数集通常用字母R表示。而用 Rn 来代表 n维实数空间 (n-dimensional real space)。

　　实数是可以用来测量连续的量的。实数的个数是无穷的。理论上，任何实数拉晶识都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循养各散环的，也可以是非循而环的)。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后n位，n为正整数)。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数油位数，实数经常用浮点数(floating point numbe)

历史

　　埃及人早在公元前1000年就开始运用分数了。在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们就千意识到了无理数存在若执款齐的必要性。【首先，毕达哥拉斯没有意识到无理数存在的必要性，充其量可以半说毕达哥拉斯学派意垂哪宣过速识到了无理数的存在(但他们绝未意识到其必要性，而是竭力去证明无理数的不必要性适，欧多索斯改造后的比例论也并非建立在确实承认无理数存受南在必要性的基础上，整个希腊人的数学都是以刻意地绕过无理数问题来解决问题的，即使阿世湖某眼织齐规附水拉银基米德也并未突破这一赶关卡;从某种意义上看，真正解决无理数问题或可认为意识到则宗乎找居了无理数存在的必要性的下翻人要到了微积分出现的时代才有)】印度人于公元600却相年左右发明了负数【首先，负数似不应被使用"发明"一词，马克思在《数学手稿》中就曾经对认蒸低传显活记掉传身手永为有人"发明了微积分"的说法表示怀疑，微积分还尚可讨论，起码在牛顿那里，"流数术"是作为一种方法出现的(莱布尼茨也把它看成方法且书名就叫作《求极大、极小的新方法》)，但负数是一种数，当代动物心理学实验已经充分证明对"数"的把握绝非人类特有的能力，事实上不少其它灵长目动物在对数量变化的瞬时把夫握上要比人类更有水平，此实验内容详见林国彬《恒河猴对50以下数目的估计》，载《心理学报》77页，1994(2)】中国也曾发明负数，但稍晚于印度。【首先，仍持前见，对"负数"而言，说发现比发明要好些。其次，中国人对负数的使用绝对远早于印度人。早在东汉，刘洪在研究历法时就已经开始用赤黑两种算筹来表示正、负两类不同的数，到了三国时期，在刘徽为《九章算术》方程章作注时，更在"正负术"下明白写道:"凡正负所以记同异，使二品互相取而已矣。言负者未必负于少，言正者未必正于多。故每一行之中虽复赤黑异算无伤。""令两算得失相反，要令正负以名之。""益行减行，当各以其类矣。其异名者，非其类也。非其类者，犹无对也，非所得减也。"刘徽对正负数的研究已达到了摆脱纯粹应用意义的理性抽象水平，而几百年后印度的婆罗摩笈多虽也提出了负数概念，但却还仅停留于"负债"等生活意义上。另外，按李继闵先生的意见，刘徽甚至可能已经得出了无理数的定义(指刘徽《九章算术注.少广章.开方术》中"其数不可得而定，故惟以面命之"语，但当时的中国数学语言中，"命"通常并不指命名的意思，而有"命分"之意】在1871年，德国数学家康托尔最早地全面地给出了实数的定义。

　　从有理数构作实数

　　实数可以不同方式从有理数(即分数)构作出来。

　　公理系统

　　设 R 是所有实数的集合，则:

　　集合 R 是一个体:可以作加、减、乘、除、乘方运算，且有如交换律，结合律等运算律。

　　集合 R 是有序的:设 x, y z∈R，则:

　　若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z;

　　若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0.

　　集合 R 是完整的:设 R 的一个非空的子集S，如果S在R内有上限，那么S在R内有最小上限。

　　最后一条是区分实数和有理数的关键。例如:所有平方小于2的有理数的集合存在有理数上限， 但是不存在有理数最小上限(√2)。

　　实数是唯一适合以上特性的集合:亦即如有两个如此集合，则两者之间必存在代数学上所称的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。

特性

连续性

　　数轴上的任何一点都可以用帮影拿音一个实数来表示，每个实数也对应着数轴上的一个点，可见全体实数正好铺满了数轴，这个性质称为实数的来自连续性。

有序性

　　对于任意a，b ∈R，必满足下述三个关系之一:

　　(i) a<b

　　(ii) a=b

　　(iii) a>b

阿基米德性

　　对事率甲底任意a，b ∈R，若a>0，b>0，则存在正源风整数n，使得na>b.

　　推论: 任意两个不相等的实数间必然息派轻矿另存在一个有理数。(1)

　　证明:

　　设α，β∈R，且α<β。由阿基米德性，必存在自然数N，使得具谁记责他汉木劳击输表N(β-α)>1，即β-规便李三处α>(1/n)

　　任360百科意取定有理数γ(0)<a，由于(1/N)>0，a-γ(0)》0，故由阿基米德性，存在m∈N，使得γ(0)+(m/N)>α.可见，数列{γ(0)+(m/N)}中总有一项大于a.

　　设 γ(0)+(n(0)/N) 怀料海必研获甲又长为此数列第一个大于α的项，于是γ(0)+(n(0)-1)/n ≤ α，故

　　γ(0)+(n(0)/N)-色举里镇而难她迅激握杨β≤a-(n(0)-1)/N+(n(0)/N)-β

　　=a+(1/N)-β

　　<0

　　即 α< γ(0)+(n(0)/N)<β，而 γ(0)+(n(0)/N)显然为有理数，即证。

　　类似可以证明:任意两个不相等的实数之间必存在一个无理数。于是有:任意两个不相等的实数之间必有一个实数。

　　(1)也可以描述为求李是逐旧海三位他帮:在任意一个区间(α,β)话支北章延胶镇每客内都存在有理数。

　　由此可见，有理数在实数集中是密集分布的，但仍有"缝隙"，安声妈预条破跑标这些"缝隙"则有无穷多的无理数填满。

完备性

　　①所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

　　②有理数集并非拓扑完备，族过火色从希行能例如 (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, …) 是有理数的柯训财宁零村西序列却没有有理数极限。但它却有个实数极限 √2。实数集是有理数集的空备化--这亦是其中一个构作实数集的方法。

　　极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里得几何的直线没有"空隙"。