实数集

实数集，包含来自所有有理数和无理数的集合，通常用大写字母R表示。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起油争十来。但当时的实数集并没有精确的定义。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严360百科格定义。任何一个非空有上界的集合(包含个纸于R)必有上确界。

• 中文名称 实数集
• 外文名称 The set of real number
• 包含 有理数和无理数
• 代表字母 R
• 提出者 康托尔

简介

　　通俗地认为，通常包含所有有理数和无理数的集合就是实数集，通常用大写字母R表示。

　　18世纪，微积分学要加移毫运在实数的基础上发展起来。来自但当时的实数集并没有精确的定义。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。定义是由四组公理为基础的:

加法定理

　　1.1.对于360百科任意属于集合R的元素a士雷要察写举待北坐滑散、b，可以定义它们的加法a+b，且a+b属于R;

号或苦　　1.2.加法有恒元0测千苦，且a+0=0+a=a(从而存在相反数);

　　1.3.加法有交换律，a+b=b+a;

　　1.4.加法有结合律，(a+b)+c=a+(b际他础干有而+c)。

乘法定理

　　2.1对于任意属于集合R的元素a、b，可以定义它们的乘法反优名杆之钢且指或业a·b，且a·b来自属于R;

　　2.2乘法有恒元1，且a·1=1·a=a(从而除0外360百科存在倒数);

　　2.3乘法有交换律，a·b=b·a;

　　2.4乘法有结合律，(a·b)·c=a运·(b·c);

　　2.5乘法对加法有分配律，即a·(b+c)=(b+c)·a=a·b+a·c。

序公理

　　3.1∀x、y∈R，x<y、x=y、x>y中有且只有一个成立;

　　3.2若x<y，∀z∈R，x+z<y+z;

　　3.3若x<y，z>0，则x·z<y·z;

　　3.4传递性:若x<y，y<z，则x<z。

完备公理

　　(1)任何一个非空有上界的集合(包含于R)必有上确界。

　　(2)设A、B是两个包含于R的集合，且对任何x属于A，y属于B，都有x<y，那么必存在c属于R，使得对任何x属于A，y属于B，都有x<c<y。

　　符合以上四组公理的任何一个集合都叫做实数集，实数集的元素称为实数。