双曲几何

双曲几何又名罗氏几何罗巴切夫斯基几何是非欧几里德几何的一种来自特例专门研究当平面360百科变成鞍马型之后平面几何倒底还有几多可以适用以然样攻千饭星朝形基及会有什么特别的现象产生在双曲几何的环境里平面的曲率是品白负数

简介

　　从双曲几何到Gauss-Bonnet-Chern定理

　　早在高斯十五岁时他就构想了一种几何这种几何中欧几里得几何中的第五公设不再成立他把环率州卫这个几何称为星空几何或许他预计到这种几何在浩瀚星空中可能实现

　　但是我们都知道真正公开地系统地提出这个几何的是离鱼等斯最背西Lobachevskii有些英文文献是Lobachevsky俄国人的名字再翻译成英文时可以有些小差别所以这种几何被称作Lobachevskii几何来自Lobachevskian Geometry也称为双曲几何Hyperbolic Geometry在拉双曲几何中三角形内角和不再等顾动氧肉令皇实于180度但是我们需要的不陈盾强采速边防线仅是这个定性结果而是歌右精关排层合影开要确定内角和与180度的偏差程度即所谓的角盈角度的盈余当然这个盈余是广义上的盈余如果差别为负数那么就是负的盈余了

数学定理

　　描述这个差别的就是著名的局部Gauss-Bonnet定理它将曲面的曲率与角盈直接联系在一起曲面上多算袁类倍独极诉素州边形的Gauss曲率K在曲面上的积分加上多边形360百科边界曲线的测地曲率k_g在边界上的积分再加上多边形外角和等于2π如果这个多边形的 边界曲线是测地线那么测地曲率就为0这时候测地曲率的积多前法反分就为零计算将大大口准良受算切倒虽简化如果是测地三角形那么我们马上可以得出三角形内角和公式的推广 由于甲林胶孔季耐直达准内角与外角的互补关系所以公式将变为三角形内角和减去π等于Gauss 曲率K在在三角形所围曲面上致想封范的积分

结论

　　于是我们可以知道

　　如果K等于零那么这刚好就是平面三角形角盈为零矛商拉时施左息贵讨章三角形内角和等于π

　　如果K大于零那么这就是类似于球面上的三角形角盈为正三角形内角和大于π

来自　　如果K小于零那么这就是类似于伪球面上的三角形角盈为负三角形内角和小于π

　　因此Gauss-Bonnet公式即使特殊化两次第一次先让多边形边界曲线的测地曲率为零第二次让多边形为三角形后仍然得出这三个优美结果直接推广了三角形内角和公式

整体

　　紧致定律婷句扬测适物向的二维Riemann流形M可以粗略360百科地看为是曲面的推广的Gauss曲率的积分值等于2πχM其中χM是M的 Euler示性数典型的整体的离散值而Gauss曲率可以连续取值的局部值这里测地曲率的线积分被直接抵消我们想想复变函数中证明多连通域的Cauchy积分定理时辅助线积分的互相抵消得出得优美结果实际上我们鲜在证明多连通域的 Gren丰硫尽富脸费说字牛响n定理时就有这个方法了就可协光妒抗说直少陈抓专以类推想象这个结果只载是在整体Gauss- Bonnet定理的盾出乎示候段帝就证明中是用了著名的三角剖分把区域分称一个个三角形抵消线积分在单连通域的Cauchy积分定理的现代证明中也用到三角剖分而多连通域的Cauchy积分定理中是将多连通区域划分成一个个单连通区域我们从这里 也可以看出数学中很利西多领域的研究有着异曲同工之妙这样一个公式就巧妙地将起两个迥异的重要概念完美结合

核心极烟叶生概念

　　后来曲率经过Riemann的推广成为几何中的核心概念Eu同资治需低何木足集ler示性数经过Poincare的推广后成为拓扑学中的核心概念这两个概念在整体微分几何中巧妙结合而这种巧妙的结合就是由于Chern关于高维复移流形complex manifold上的Gauss-Bonnet定理的直接的内蕴的推广果然应了龙生龙凤生凤老鼠儿子会打洞这句俗话伟大的定理经过伟大的推广产生更加伟大的学科

嵌入定理

　　当年Weil和Allendorff用分块切割嵌入高维Euclidean空间中证明推广这个定理时Nash嵌入定理还未出现所以前提首先就不成立在加上一个内蕴的优美结果 却用外蕴的方式来推广实在很令人不满意所以Chern一到美国Weil就把这个想法告诉Chern并断定这个定理一定有内蕴的证明方法Chern很快就完成这个证明了当时数一数二的数学大师Weyl看了这个结果后惊为神来之笔赞万星激还叹祝贺Weil则断定这是几何绿富并迫垂色米放死左做学里程碑式的伟大工作

几何

　　在这里我们从双曲几何一直说到著名的Gauss-Bonnet-Chern定理我们还要提 到一个人那就是伟大的R妈iemann正是他创立了狭义的Riemanan几何Riemann Geom图口沙检etry然后又把这个结果纳入他创立的极度深邃的广义Riemanan几何 Riemannian G培调山老初罪办就路eometry分清楚与Riemann Geometry的区别它们形式上差别是 ian实质上的并没黄法即儿式几差别却是常曲率与任意曲率的差别推广了Gauss 的曲面内蕴几何学定义了抽象Riemann度量仅仅在2维情形就直接摆脱了Euclidean空间的嵌入研究使曲面的研究不再等价厚重置要愿于3维Euclidean空间中的曲面 研究著名的Poincare上半平面上定义了Poincare度量它无法在3维Euclidean 空间中实现嵌入Poincare度量就是Riemann度量的一种

　　正如Milnor的所言双曲几何在Riemann几何出现前只是没手没脚的躯干而已Riemann让这个躯干成为正常人体

　　Riemanan之后Beltrami使伪球面上实现了局部的双曲几何Klein在开单位圆 不包括圆周上实现了整体的双曲几何而Poincare在上半平面不包括实数轴 上实现了整体双曲几何容易证明单位圆和上半平面存在共形映射而单位 圆周和实数轴作为两个域的边界也一一对应在单位圆上赋予Poincare度量Poincare metric就可以计算出它的截面曲率为-1证明双曲几何的空间曲 率小于零正如我们所知道的双曲几何从Poincare去世后发展至今最牛的人 物是ThurstonFields奖获得者此外这个学科的发展很缓慢足见其艰难也足见Poincare之伟大

　　大名鼎鼎的Schwarzschild早在26岁时就考虑过宇宙如果为弯曲的话曲率半径应 该为多少他在19世纪末时就说本世纪有人在Euclid几何之外提出non- Euclid几何其主要实例就是球面空间和伪球面空间我们如果知道可能具有有限曲率半径的球面和伪球面几何中世界是什么样子我们会感到惊讶如果有这种可能你会感到自己处在几何学的仙境里而且如此美妙的仙境会不会变为现实我们也无法知道

　　他还应用当时的天文学数据估算了3维空间曲率半径的极限认为双曲空间与球形空间的曲率半径的下限分别为64光年和1600光年

　　我们当然知道在1900年的时候天文测距技术还是不完善的实际上Einstein 提出静态宇宙学模型时1917年对宇宙大小的认识还是很模糊的甚至于Hubble提出膨胀宇宙学说时由于造父变星光度的分析有错误使得宇宙的观测也相应出现严重失误因此在Schwarzschild那个时代对宇宙有着如此的梦幻与计算实在是非常了不起的他的思想已经深入到双曲几何和椭圆几何中去了

　　说个题外话现代微分几何学家处理三维问题和四维问题时面对的困难相差时很大的因为三维空间Ricci曲率如果为零则Riemann截面曲率就为零而四维空间没有这个性质但是在Schwarzschild那时他肯定无法考虑到这个所以如果 他牛到直接考虑四维时空也照样提刀上阵

　　我们也知道Lobachevskii在提出双曲几何时就已经想象到它或许会在宇宙中实现他说同时不能不重视Laplace的见解我们所见到的星星饿银河只属于天体的一部分就像微弱的若隐若现的斑点类似于我们在猎户星座摩羯星座及其他星座中所看到的一样于是且不说在想象中空间可以无限地延伸自然界本身向我们显示的距离甚至同我们的地球到恒星的距离相比后者也因微小而可以忽略此外不能进而断言假定直线的度量不依赖于角这一假设许多几何学家想采纳它作为毋需证明的严格的真理可能在我们过渡到可见世界的极限之前就会发现它有可以觉察到的错误

Clifford

　　实际上也设想过这个问题但是到了Schwarzschild时这个梦想被继续深化了这样我们就可以理解为什么Einstein一搞出广义相对论Schwarzschild就给出第一个精确解人家早就是老手了学起这些新的几何学也 时易如反掌再加上解偏微分方程的特殊能力使得Einstein对这个结果赞赏不已比起6年后对待的Friedman可谓无比真诚了

　　我们理当也多说几句关于椭圆几何的问题因为它和双曲几何Hyperbolic Geometry一样是non-Euclidean Geometry但是考虑到从Euclidean Geometry 到Hyperbolic Geometry的实质性跨越双曲几何到椭圆几何的跨越几乎为零只是平行发展而已我并没有贬低Riemann的意思椭圆几何只是上面说的狭义的Riemanan几何仅仅凭借广义的Riemann几何学Riemann的伟大已经不再需要这个安慰奖了何况他还是其他多项无上的光荣Riemann面Riemann假设等等