勒贝格测度

数学上，勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广评促处林泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测;勒贝格可测集A的体积或者说测度记作λ(A)。一个值为∞的勒贝格测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时使免试孙交帮树，R的所有子来自集也不都是勒贝格可测的。不可测集360百科的"奇特"行为导致了巴拿吧会货夫喜解用坏赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果围密转特方车进改里。

• 中文名称 勒贝格测度
• 外文名称 Lebesgue measure
• 提出时间 1902年

例子

　　如果A是一个区间[a,来自b]， 那么其勒贝格测度是区间长度b−a。开区间(a,b)的长度与闭区间一样，因为两集合的差是零测集。 如果A是区间 [a,b] 和 [c,360百科d]的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积(b−a)(d−c)。康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。

性质

　　R上的勒贝格测度有如下的性质

　　如果A表局位示的是区间I1 ×I2 × ... ×In的笛卡尔积，那么A是勒贝格可测的，并且 其中 |I理静台代这众| 表示区间I的长度。 如果A是有限个或可数个两两互础取思不相交的勒贝格可型亲耐扩此析酒秋给验钟测集的并，那么A也是勒贝格可测的，并且λ(A) 就是这些可测集的测度的和笑苦为映底且流你体弦货(或无穷级数的和)。 如果A勒贝格可测的，那么它的补集(相对于R)也是可测的。 对于每个勒贝格可测集A，λ(A) ≥ 0 。 如果A与B是勒贝格可测的，且A兵车易是B的子集，那么λ(A) ≤ λ(B)。 (由 2, 3 问及 4可得。) 可数多个是勒贝格可测集的交或者并仍然是勒贝格可测的。 (由2，3 可得)。 如果A是一个开集或闭集，且是R(甚至Borel集，见度量空间，待补)的子集，那么A是勒贝格可测的。 如果A是一个勒贝格可测集，并有 λ(A) = 0 ，则A的任何一个子集B的勒贝格测度λ(B)=0。 如果A是勒贝格可测的，x是R中的一个元素，A关于x的平移(定义为A+安x= {a+x:a∈A})也是勒贝格可测的，并且测度等于A. 如果A是勒贝格可测的，δ > 0，则A关于δ的扩张(定义为)也是勒贝格可测的，其测度为。 更广泛地说，设T是一个线性变换，A是一个R的勒贝格可测子集，则T(A)也是勒贝格可测的，其测度为。 如果A是R的勒贝格可测子集，f是一个A到R上的连续单射函数，则f(A)也是勒贝格可测的。

　　简要地说，R的勒贝格可测子集组成一个含所有区间及其笛卡尔积的σ代数，且λ是其上唯一的完备的、平移不变的、满足的测度。

　　勒贝格测度是σ有限测度。

零测集

　　主条目:零测集

　　R的子集是零测集，如果对于每一个ε > 0，它都可以用可数个n个区间的乘积来覆盖，其总体积最多为ε。所有可数集都是零测集。

　　如果R的子集的豪斯多夫维数小于n，投苦部很干混夫问那么它就是关于n维勒贝格测度的零测集。在这里，豪斯多夫维数是相对于R析西她重剂停永上的欧几里得度量(或任何与其等价的利普希茨度量)。另一方面，一个集合可能拓扑维数小于n，但具有正的n维勒贝格测度。一个例子是史来自密斯-沃尔泰拉-康托尔集，它的拓扑维数为0，但1维勒贝格测度为正数。

　　为了证明某个给定的集合A是勒贝格可测的，我们通常尝试寻找一个"较好"的集合B，与A只相差一个零测集，然后证明B可以用开集或闭集的可数口衣国不材且去放交集和并集生成。

结构

　　勒贝360百科格测度的现代结构，基于外测度，是卡拉特奥多里发明的。

　　固定。中的盒子是形如的集合，其中。这个盒子的体积定义为

　　对于任何R的子集A，我们可以定义它的外测度λ (A):

　　是可数个盒子的集合，它的并集覆盖了 然后定义集合A为勒贝格可测的，如果对于所有集合，都有:

硫弦引均权响战委航　　这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数育以温企。勒贝格测度定义为λ(A) = λ(A)对于任何勒命阻倍还贝格可测的集合A。

　　根据维塔利定理，凯苏动角提烟微外存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果A是的任何测度为正数的子集，那么A便有勒贝格不可测的子集。

关系

　　在所定义的集合上，博雷尔测度与勒贝格测度是一致的;然而，仍然有更多勒贝格可测的集合不是博雷尔可测的。博雷尔测度是平移不变的，未讨以测但不是完备的。

　　哈尔测度可以定义在任何局部紧群上，是勒贝格测度的一个推广(带有加法的R是一个局部紧群)。

　　豪斯多夫测度(参见豪斯多夫维数)是勒贝格测度的一个推广，对于测量R的维数比n低终唱就的子集是很有用的，例如R内的曲线或曲面，以及造汽号岁势权存约则强害分形集合。不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数的概念混淆。

　　穿兰久可以证明，在无穷接镇决克切手花非维空间不存在勒贝格测度的类似物。

历史

　　勒贝格在露药走她电育太重斯似1901年描述勒他的测度，随后在第二年他描述了勒贝格积分。二者都是作为他在1902年的博士论文的一部分发表的。